Свойства колебательных систем в виде плоскопараллельных структур

(основы теории преобразования ударного воздействия в гармонический отклик)

Гликман А.Г.
НТФ "ГЕОФИЗПРОГНОЗ"
5 июля 2011, Санкт-Петербург

     В 1977 году было обнаружено, что слой горных пород проявляет свойство колебательной системы. Это выражается в том, что при ударном воздействии на поверхность этого слоя возникает отклик (сейсмосигнал), имеющий вид затухающего гармонического (синусоидального) процесса.
     Этот эффект категорически не вписывается в общепринятую парадигму сейсморазведки. Дело в том, что единственным механизмом формирования сейсмосигналов в сейсморазведке считается интерференция, но если это так, то тогда сейсмосигнал никак не может содержать затухающий гармонический сигнал. Потому что такой сигнал интерференцией получен быть не может. Синусоида описывается одним членом ряда Фурье, и не может быть разложена на более простые составляющие. И, следовательно, не существует более простых несинусоидальных сигналов, из которых могла бы быть получена синусоида. Это соображение позволило в свое время лорду Кельвину (Уильяму Томсону) сделать вывод о том, что электрический колебательный контур является колебательной системой [1]^[1].
     Учитывая этот прецедент, нельзя было не прийти к выводу, что породный слой является колебательной системой. Этот вывод оказался совершенно точным. Со временем, выяснилось, что, во-первых, объекты не из всех материалов проявляют свойство колебательной системы, а во-вторых, эти объекты совершенно не обязательно должны иметь вид плоскопараллельной структуры.
     Как оказалось, звукопроводящие материалы по этому признаку делятся на две группы. В первую группу входят материалы, объекты из которых являются колебательными системами (резонаторами). В эту группу входит подавляющее большинство материалов. Это стекло, металлы и сплавы, керамика, лёд, горные породы. Во вторую группу входят некоторые пластмассы (в частности, оргстекло), некоторые сорта угля, газы и жидкости. Объекты из материалов этой группы являются нерезонаторами. Для упрощения, все звукопроводящие среды были разделены на материалы ряда стекла и материалы ряда оргстекла [2].
     Объекты-резонаторы имеют количество собственных частот, равное количеству размеров этих объектов. Так, если объект имеет лишь один размер - скажем, это толщина h слоя-резонатора неопределенной протяженности, то собственная частота f₀ такого одночастотного резонатора определяется следующим образом:

f₀ = k/ h,     (1)

где k - коэффициент с размерностью скорости.
     А параллелепипед имеет три размера, и такой объект имеет три собственных частоты. Они определяются выражением (1), при подстановке вместо h каждого из этих трех размеров.
     Зависимость (1) была выявлена эмпирически, и так же эмпирически было выявлено, что коэффициент k для всех горных пород равен 2500м/с, и погрешность выражения (1) при этом не превышает 10%. Для стекла и стали этот коэффициент имеет значение, близкое к 3000м/с. Для льда (замерзшая вода) - k ≈ 700м/с, и т.д.
     При некоторых условиях объекты из материалов ряда оргстекла могут проявлять свойства резонаторов, и наоборот, объекты из материалов ряда стекла могут оказаться нерезонаторами.
     Двигаясь от простого к сложному, целесообразно будет в рамках данной работы ограничиться рассмотрением одночастотных резонаторов в виде плоскопараллельных структур^[2].
     Всё вышесказанное основано на результатах экспериментов. Однако, как оказалось, результаты этих экспериментов категорически противоречат общепринятой точке зрения.
     Так, согласно существующим представлениям, короткий удар по поверхности плоскопараллельной структуры (слоя, пластины), материал которой монолитен и однороден по вещественному составу, должен вызвать не гармонический затухающий процесс, а столь же короткий упругий импульс, который должен многократно переотразиться от поверхностей этой структуры. Но на самом деле, на практике, это происходит только в том случае, если материал плоскопараллельной структуры относится к ряду оргстекла. То есть, если объект НЕ является резонатором. В том случае, если материал относится к ряду стекла (объект - резонатор), то реакцией на удар будет гармонический затухающий процесс.
     Этот факт можно пронаблюдать различными способами: при ударе, при шумовом воздействии, при воздействии гармоническим сигналом с изменяющейся во времени частотой.
     Для поиска физики эффекта преобразования упругого импульса в гармонический сигнал представляется применимой следующая логика.
     Из того, что пластина из оргстекла не является резонатором, а из стекла является, следует, что пластина из оргстекла не имеет механизма преобразования удара в синусоиду, а стеклянная пластина имеет этот механизм.
     Оба эти материала являются однородными по вещественному составу и по плотности, но логично предположить, что оргстекло является однородным по акустическим свойствам материалом, а стекло должно иметь какие-то акустические неоднородности, наличие которых обуславливает этот механизм.
     Акустическая неоднородность в материалах ряда стекла просто необходима, чтобы был хоть какой-нибудь признак того, что объекты из этих материалов являются резонаторами.
     Из всех известных характеристик поля упругих колебаний, единственной, которую можно выявить на метрологически приемлемом уровне, является скорость. Для поиска акустических неоднородностей осуществлялось ультразвуковое прозвучивание пластин для определения в них скорости распространения фронта упругих колебаний V_fr методом регистрации момента первого вступления.
     Понятно, что если существует некая зона с неодинаковыми значениями скорости, то определяемая величина V_fr должна зависеть от толщины прозвучиваемого объекта.
     И действительно, как оказалось, скорость V_fr, определяемая при прозвучивании пластин из оргстекла, есть величина постоянная, и не зависит от толщины этих пластин (как, в общем-то и предполагалось перед началом исследований). При прозвучивании же стеклянных пластин величина скорости увеличивается с увеличением толщины h.
     На рис.1 приведены зависимости скорости V_fr от толщины h прозвучиваемых пластин, полученные с помощью установки, показанной на рис.2.

Рис. 1

     График 1 получен при прозвучивании пластин из оргстекла. График 2 получен при прозвучивании пластин из стекла. Утолщение графиков с уменьшением толщины пластин h отражает увеличение погрешности измерений при уменьшении измерительной базы (h).
     Скорость распространения фронта есть величина средняя по толщине прозвучиваемого объекта, и отсутствие изменений величины V_fr при изменении толщины пластин из оргстекла (график 1) свидетельствует об отсутствии в этих пластинах какой-либо скоростной неоднородности. График 2 показывает, что в стеклянных пластинах с увеличением их толщины h увеличивается значение V_fr.
     На рис.2 приведена схема установки, с помощью которой получена эта информация.

Рис. 2

     В состав установки входит пьезокерамический диск-излучатель и, излучающий импульс в обе стороны, два одинаковых пьезокерамических диска-приемника пр1 и пр2, устройство, передвигающее приемник 2 в направлении ±l с нониусом н, и предметный столик Ст , на котором устанавливается пластина 1 толщиной h. Установка находится в заполненном водой бассейне, чем обеспечивается постоянство граничных условий для прозвучиваемой пластины.
     Первое измерение осуществляется в отсутствии прозвучиваемой пластины. При этом пьезоприемник пр2 перемещается таким образом, чтобы расстояние от него до излучателя и было точно таким, как между и и пр1. Индикатором одинаковости этих расстояний служит двухканальный осциллограф. Положение нониуса при этом отмечается как нулевое (l₀).
     Установив после этого на предметный столик прозвучиваемую пластину, следует передвинуть пр2 до положения, когда снова совпадут моменты первого вступления сигналов на обоих приемниках. Положение нониуса при этом будет l₁. Обозначим l₁-l₀=Δl, и скорость V_fr в исследуемой пластине будет:

V_fr.mid = V_ж h /(h-Δl),     (2)

     Достоинством выражения (2) является малая погрешность. Это достигается тем, что погрешность при определении величины скорости в жидкости V_ж, по сути, не сказывается на общей погрешности выражения (2). Дело в том, что здесь нас интересует не сама величина скорости V_{fr. mid}, а ее изменение при изменении толщины h пластины.
     Зависимость 2 на рис.1 возникает в результате того, что в приповерхностных зонах Δh слоев-резонаторов скорость V_fr изменяет свое значение, уменьшаясь при приближении к границам. Чем больше Δh относительно h, т.е. при уменьшении толщины образца, тем более приграничное снижение скорости влияет на величину Vfr. Характер этих изменений показан на рис.3а.

Рис. 3

     V_fr.mid. - скорость, усредненная по толщине пластины. То есть, это та скорость, которую мы определяем при сквозном прозвучивании пластины.
     Выявление этого эффекта в материалах ряда стекла показывает отличие материалов этого ряда по акустическим свойствам от материалов ряда оргстекла.
     Смириться с наличием зон Δh в слоях-резонаторах, в пределах которых происходит плавное изменение скорости распространения фронта, не давали следующие рассуждения.
     Согласно закону сохранения импульса, изменение скорости движения какого-либо материального объекта невозможно в случае замкнутой системы. Увеличение скорости возможно только при притоке энергии извне, а уменьшение - при торможении, то есть при переходе энергии движения в тепло. Проводить аналогию с полем упругих колебаний здесь, разумеется, неправомерно. Но представить себе наличие изменения (как в плюс, так и в минус) скорости V_fr в однородной по вещественному составу монолитной и изотропной среде также невозможно.
     Однако при определении скорости V_fr при сквозном нормальном прозвучивании пластины мы ведь определяем только х-составляющую этой скорости. При этом может оказаться так, что величина х-составляющей скорости изменяет свое значение и в случае постоянной величины скорости. Это может происходить при повороте вектора скорости по мере преодоления полем упругих колебаний слоя-резонатора. Поворот вектора скорости представляется возможным за счет наличия в отдельных зонах тангенциальной составляющей поля.
     То есть, наличие зон Δh (см. рис.3а) обуславливается наличием в слое-резонаторе y-составляющей вектора скорости. Доказать это экспериментально удалось следующим образом.
     Если в приповерхностных зонах, кроме х-составляющей поля, существует у-составляющая, то влиять на нее можно с помощью изменения трения на поверхностях пластины-резонатора. В установке, показанной на рис.2, трение на поверхностях пластины определяется контактирующей с ними жидкостью. Изменять трение на границах можно с помощью эксперимента, схема которого показана на рис.4.

Рис. 4

     Контакт пьезоприемников 2 и 3 с прозвучиваемой пластиной 1, в отличие от того, как это показано на рис.2, осуществляется не через жидкость, а непосредственным образом, путем прижима их к пластине. Изменение силы прижима F пьезокерамики к прозвучиваемой пластине изменяет величину трения между ними, так как трение есть произведение коэффициента трения на величину нормального давления.
     Как свидетельствует график а на рис.5, изменение величины трения на плоскостях пластины-резонатора приводит к изменению скорости V_fr. Можно сказать иначе. Изменяя трение на плоскостях, мы изменяем скорость V_min (см.рис.3), и за счет этого изменяется среднее по толщине пластины значение скорости фронта.

Рис. 5

     В случае, если стеклянную пластину зажать между двумя пьезокерамическими дисками, то при минимальной силе прижима F измеряемая скорость будет равной V_fr (0). С увеличением давления величина скорости V_fr будет увеличиваться, и при F ≈ 5кГ она достигнет значения V_fr (a). Эта скорость на рис.1 обозначена как V_fr.max. То есть, при этих условиях эксперимента увеличение трения приводит к уничтожению зон Δh.
     Поставим теперь одну плоскость пластины-резонатора в условия непосредственного контакта с пьезопреобразователем 2 (см. рис.4), а другую - в условия контакта с пьезопреобразователем 3 через жидкость. Это можно сделать, проложив между ними прокладку 4, которая представляет собой пропитанный жидкостью (маслом или водой) тончайший пергамент. Это случай b. С увеличением давления величина скорости также будет увеличиваться, но достигнет только лишь величины V_fr (b), которая составляет примерно половину от V_fr (a).
     Поменяв местами пьезопреобразователи 2 и 3, получим точно такой же результат, что подтверждает факт симметричного расположения зон Δh на рис.1.
     При прозвучивании пластины из оргстекла определяемая скорость не изменяет своего значения ни при каких условиях, и это случай с.
     Обратимся теперь к эффекту акустического резонансного поглощения (АРП) [3].
     Эффект акустического резонансного поглощения (АРП) заключается в том, что при нормальном (перпендикулярном) прозвучивании слоя-резонатора гармоническим (синусоидальным) сигналом, часть исходного поля упругих колебаний на резонансе (при равенстве частоты излучаемого поля с собственной частотой слоя-резонатора) переориентируется в ортогональном направлении.
     На рис.6 приведена схема измерений, позволяющая наблюдать эффект АРП.

Рис. 6

     Пластина-резонатор 1, имеющая толщину h, прозвучивается с помощью пьезокерамического излучателя 2, возбуждаемого генератором гармонического напряжения 3, которое может изменяться по частоте.
     На частоте f₀, равной собственной частоте пластины-резонатора 1 по толщине h, то есть, на резонансе, исчезает эдс, снимаемая с пьезокерамического приемника 4. При этом возникает эдс, снимаемая с пьезокерамического приемника 5.
     Приемник 4 - комбинированный. Он состоит из двух пьезопреобразователей - пьезокерамики и пьезопленки. В пьезопленке сделано круглое отверстие, диаметр которого равен диаметру пьезокерамического диска. Необходимость такого комбинированного пьезоприемника обусловлена следующим. Как оказалось, эдс, снимаемая с пьезопленочного приемника 4, не исчезает в момент резонанса. Это свидетельствует о том, что пьезокерамика и пьезопленка в режиме приема реагируют на различные составляющие поля. А также еще о том, что пьезокерамический диск 2 излучает поле, состоящее из двух составляющих.
     Одна из этих составляющих участвует в формировании собственного колебательного процесса, и на нее реагирует пьезокерамический приемник. Назовем эту составляющую с-составляющая (ceramics). Вторая составляющая в формировании собственного колебательного процесса не участвует, на нее реагирует пьезопленка, и назовем ее f-составляющей (film). Скорость распространения этих двух составляющих одинакова, поскольку сигналы, снимаемые с пьезопленки и пьезокерамики, синфазны и синхронны.
     На рис.7 приведены частотные зависимости коэффициентов прохождения поля через пластину α, отражения от пластины β, а также величины эдс U (относительно Umax), снимаемой с пьезокерамического приемника 5.

Рис. 7

     Здесь на частотной оси имеют место две критические точки f_mc и f_0. Частота  f_mc - это частота монохроматора (monochromator). Этот эффект известен из оптики (эффект просветления). Он заключается в том, что в случае равенства толщины прозвучиваемого слоя целому числу полуволн продольных колебаний исчезает отражение (β=0), и через слой проходит 100% исходного поля (α=1):

h = n λ_l / 2 или f_mc = n V_l / 2h     (3)

     В данном случае, эффект монохроматора используется как сопутствующий, для калибровки измерительной установки.
     Необходимо отметить, что как скорость V_l , так и скорость, которая обозначена коэффициентом k в выражении (1), не являются скоростями распространения какого-либо процесса. Это, по определению Л.И. Мандельштама^[3], фазовые скорости, которые могут быть определены из выражения V = λ f, в режиме колебаний в границах какого-либо объекта или, иначе говоря, стоячих волн.
     Частотная зависимость эдс U, снимаемой с пьезокерамического приемника 5, по форме является, с одной стороны, спектральным изображением гармонического затухающего сигнала, а с другой, резонансной характеристикой единичной колебательной системы [4].
     f₀ - это собственная частота колебательной системы, каковой является прозвучиваемая пластина-резонатор. Доказать это удалось следующим образом.
     Если использовать в качестве прозвучиваемой пластины-резонатора пьезокерамический диск, то легко увидеть, что f₀ есть не что иное, как собственная частота этой пьезокерамики по толщине. Если теперь эту пластину нагреть до температуры, превышающей точку Кюри, то керамика потеряет свой пьезоэффект. Но вот что важно, при этом совершенно не изменятся все зависимости, приведенные на рис.7. То есть, мы тем самым получили доказательство того, что сам по себе пьезоэффект с резонансными свойствами резонаторов никак не связан. Пьезоэффект только лишь помогает увидеть и использовать колебательные свойства резонаторов, но на наличие этих свойств не влияет.
     Эффект АРП, по сути, включает в себя два эффекта. Первый - исчезновение на резонансе эдс на клеммах пьезокерамического приемника 4 (на рис.6), и второй - переориентирование на резонансе части первичного поля в ортогональном направлении. Рассмотрим оба эти эффекта отдельно.
     При обычном, импульсном или гармоническом, но нерезонансном прозвучивании пластины-резонатора поле проходит сквозь нее без видимого затухания. На резонансе же поле, регистрируемое пьезокерамикой 4 исчезает. Это может быть только в том случае, если у правой плоскости прозвучиваемой пластины-резонатора складываются в противофазе ДВА потока. То есть, получается, что наличие зон Δh приводит к тому, что первичный поток Ic (составляющая поля, воспринимаемая пьезокерамическим приемником) в пластине-резонаторе разделяется, в свою очередь, на две составляющие, отличающиеся одна от другой таким образом, что на резонансе при суммировании обеих составляющих на правой плоскости пластины поле отсутствует.
     Соотношения между параметрами эффектов монохроматора и АРП видны в таблице табл.1, где отражены результаты исследования стеклянных пластин толщиной от 2 до 20мм.

Табл. 1

     Ключевым вопросом для меня много лет был смысл коэффициента k в соотношении (1). Несмотря на то, что уже много лет я в своих статьях придаю этому коэффициенту смысл поперечных волн, мне не давало покоя сознание того, что на экспериментальном уровне идентифицировать как продольные, так и поперечные волны невозможно.
     Но сейчас стало видно, что поперек слоя-резонатора действительно распространяется упругий процесс, имеющий ортогональную составляющую. То есть, по определению, процесс поперечный.
     Можно сколько угодно дискутировать о метрологической корректности определений продольной и поперечной скоростей, но вот же, как следует из таблицы, сами эти значения, а также их соотношения вполне соответствуют постулатам Пуассона. Есть одна только особенность этих параметров. Она заключается в том, что определяются эти скорости не как групповые, т.е. скорости распространения какого-либо процесса, а как фазовые, т.е. в режиме стоячих волн.
     Теперь о втором эффекте АРП.
     Представим себе слой-резонатор в режиме резонанса некоторым звукопроводящим объектом (черным ящиком), который, в соответствии со схемой, приведенной на рис.8, переориентирует первичное поле I₁, преобразуя его в поле I₂.

Рис. 8

     Объект, способный переориентировать поле в ортогональном направлении, должен иметь звукопроводность Z, равную:

, где

     j - показатель того, что звукопроводность объекта-резонатора имеет мнимый, а в общем случае, комплексный характер. Мнимость рассматриваемого здесь резонатора как бы уравнивает его с уже известными колебательными системами - например, электрическим контуром, электропроводность которого также имеет комплексный характер.
     Благодаря тому, что поле прошло через объект с комплексной звукопроводностью, а в общем случае, с комплексным коэффициентом передачи, оно (поле) также имеет комплексный характер, что объясняет ряд свойств поля, распространяющегося вдоль протяженных объектов-резонаторов. В первую очередь, аномально высокую, как всегда казалось, звукопроводность слоев-резонаторов^[4].

ВЫВОДЫ И ОБОБЩЕНИЯ

     При ударном воздействии на слой-резонатор возникают два процесса: один - собственный колебательный процесс по толщине и второй - распространение этого колебательного процесса в радиальных направлениях вдоль этого слоя.
     Частота f₀ собственного колебательного процесса связана с толщиной h пластины-резонатора соотношением (1), где k = V_sh . V_sh - фазовая скорость поперечных волн.
     Скорость распространения собственного колебательного процесса вдоль пластины-резонатора при удалении от точки ударного воздействия возрастает, стремясь к скорости V_sh. Но при этом V_sh приобретает смысл скорости распространения.
     Для возникновения собственного колебательного процесса в слое-резонаторе необходимо два фактора. Первый - наличие с-составляющей поля упругих колебаний, и второй - наличие двух приповерхностных зон Δh, в которых нормальная составляющая скорости V_fr плавно уменьшается с приближением к поверхности.
     Наличие зон Δh с плавным изменением нормальной составляющей скорости V_fr имеет своим следствием разделение исходного поля на две составляющие и возникновение тангенциальной составляющей поля упругих колебаний, распространяющегося поперек слоя-резонатора.
     Процесс собственных колебаний пластины-резонатора по толщине h неразрывно связан с распространением собственного колебательного процесса вдоль этой пластины.
     Изменение силы трения на поверхностях пластины-резонатора влияет на величину добротности этого резонатора, а также и на его собственную частоту f₀. Увеличение трения приводит к увеличению f₀ и к уменьшению добротности, вплоть до исчезновения процесса собственных колебаний.
     Сила трения на поверхностях слоя-резонатора является основным фактором, определяющим граничные условия. Понятие границы при спектрально-акустических измерениях предполагает наличие поверхности, по которой возможно проскальзывание соседствующих сред.
     В каком-то смысле Пуассон оказался прав. Не имея никакой экспериментальной базы, он каким-то образом смог догадаться, что поле, падающее на поверхность твердой среды, разделяется на две части. Сейчас можно сказать, что эти две части - это реальная и мнимая составляющие поля упругих колебаний.
     Реальная часть - это поле, первый момент вступления которого определяется при нормальном прозвучивания как слоев-резонаторов, так и слоев-нерезонаторов.
     Мнимая часть отвечает за формирование собственных колебаний резонатора. Скорость, характеризующая мнимую часть поля определяется как V_sh, а также соответствует скорости распространения собственного колебательного процесса вдоль протяженного резонатора.

     Открытие в XIX веке новой колебательной системы в виде электрического колебательного контура привело, в конечном итоге, к созданию радиосвязи, и значение этого для развития нашей цивилизации переоценить невозможно.
     Нечто подобное происходит сейчас в механике в связи с открытием новой колебательной системы в виде плоскопараллельных (в простейшем варианте) резонаторов на упругих колебаниях. В ходе развития этого направления выяснилось, что земная толща, а в общем случае, и сама наша планета представляет собой совокупность колебательных систем. Этот факт заставляет пересмотреть все традиционные подходы к изучению свойств планеты и процессов, в ней происходящих, к строительству, прогнозированию внезапных разрушений инженерных сооружений и к решению проблем безопасности эксплуатации инженерных сооружений, особенно, силовых энергетических установок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гликман А.Г. Гимн синусоиде.
2. Гликман А.Г. Спектральная сейсморазведка - истоки и следствия.
3. Гликман А.Г. Эффект акустического резонансного поглощения (АРП) как основа новой парадигмы теории поля упругих колебаний. 
4. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М 1957

---

1. Приложение N 1. Об открытии колебательного контура
2. Приложение N 2. О кварцевых резонаторах.
3. Понятие фазовой и групповой скорости ввел Мандельштам Л.И. в 30-х годах ХХ века в связи с эффектами в волноводах, когда скорость в режиме стоячих волн превысила скорость света в вакууме.
4. Приложение N 3. Звукопроводные свойства слоев-резонаторов